Можно ли управлять портативным стереопередатчиком Sony TMR-BT10 через соединение Bluetooth с данным устройством?

Нет, это невозможно.
Портативный стереопередатчик Sony TMR-BT10 не поддерживает соединение по Bluetooth с профилем AVRCP (Audio Video Remote Control Profile, профиль дистанционного управления аудио- и видеоустройствами).
Поэтому управлять им с данного устройства невозможно, несмотря на наличие соединения Bluetooth между ними.